三门问题
一个极具争议性的概率问题，它挑战了人们的直觉判断，展示了条件概率的深刻内涵。
详细描述
游戏规则如下：
- 主持人展示三扇门，其中一扇门后有汽车，另外两扇门后是山羊
- 参赛者选择一扇门
- 主持人（知道每扇门后的物品）会打开剩下两扇门中的一扇，展示一只山羊
- 主持人给参赛者机会更换选择
核心问题：
参赛者是应该坚持最初的选择，还是换到另一扇门？哪种策略的获奖概率更高？
常见误解
误解一：概率是1/2
很多人认为主持人打开一扇门后，剩下两扇门的概率应该是相等的。 这忽略了主持人的行为提供的额外信息。
误解二：主持人的行为无关紧要
主持人的行为是有规律的：他知道汽车位置，并且一定会打开一扇有山羊的门。 这个信息改变了条件概率。
图解说明
坚持原选择
获胜概率：1/3
- 选中汽车概率：1/3
- 主持人行为不影响结果
- 最终仍是1/3概率
更换选择
获胜概率：2/3
- 选中山羊概率：2/3
- 主持人排除另一只山羊
- 换门必得汽车
详细概率分析
| 初始选择 | 主持人打开 | 换门结果 | 概率 |
|---|---|---|---|
| 汽车 (1/3) | 任一山羊 | 山羊 | 1/3 |
| 山羊1 (1/3) | 山羊2 | 汽车 | 1/3 |
| 山羊2 (1/3) | 山羊1 | 汽车 | 1/3 |
贝叶斯定理证明
条件概率分析
- 设事件A为"初始选中汽车"，概率P(A)=1/3
- 设事件B为"主持人打开某扇门后，换门得到汽车"
- P(B|A) = 0（如果选中汽车，换门必得山羊）
- P(B|not A) = 1（如果选中山羊，换门必得汽车）
- 因此换门得到汽车的概率为2/3
现实启示
决策理论
- 新信息可能改变最优决策
- 直觉判断往往不可靠
- 需要理性分析概率
实践应用
- 金融投资决策
- 医疗诊断选择
- 商业策略调整