抽奖问题
一个关于概率与期望值的经典问题，探讨如何在不确定性中做出最优决策。
详细描述
抽奖规则如下：
- 抽奖箱中有100个号码球，编号从1到100
- 每次抽取10个号码作为你的投注号码
- 系统随机抽取5个号码作为中奖号码
- 根据匹配数量获得不同奖励：2个配对得5元，3个得50元，4个得1000元，5个全中得10万元
核心问题：
每注2元，这个抽奖活动值得参与吗？如何计算期望收益？
抽奖模拟器
统计数据
总花费: 0 元
总收益: 0 元
净收益: 0 元
收益率: NaN%
历史记录
总次数: 0
中奖次数: 0
中奖率: 0.00%
概率分布图表
常见误解
误解一：中奖概率估计错误
很多人直觉认为选择更多号码就更容易中奖，但实际的概率计算要复杂得多。
误解二：忽视期望值计算
单纯关注中大奖的概率，而忽视了综合期望收益的计算。
理论分析
概率计算
使用超几何分布计算各种匹配数量的概率：
匹配 0 个号码:58.3752%
匹配 1 个号码:33.9391%
匹配 2 个号码:7.0219%
匹配 3 个号码:0.6384%
匹配 4 个号码:0.0251%
匹配 5 个号码:0.0003%
期望值分析
每注彩票的期望收益计算：
- • 2个号码匹配：7.0219% × 5元 = 0.3511元
- • 3个号码匹配：0.6384% × 50元 = 0.3192元
- • 4个号码匹配：0.0251% × 1000元 = 0.2510元
- • 5个号码匹配：0.0003% × 100000元 = 0.3000元
总期望收益：1.2213元
每注成本为2元，因此平均每注亏损：0.7787元
结论
从数学期望的角度来看，这个彩票并不值得购买。虽然有极小概率获得高额奖金，但从长期来看每购买一注彩票都会有固定的期望亏损。 这也解释了为什么彩票常被称为"愚人税"——从纯数学角度来看，购买彩票是一个不理性的决策。
现实启示
概率认知偏差
人们往往高估小概率事件。例如，中5个号的概率仅为0.000300%， 意味着平均需要购买333333注才可能中一次大奖， 但很多人会认为自己"很快就会中奖"。
长期投入陷阱
每购买一注彩票，平均亏损0.7787元。如果每周购买10注，一年下来预期亏损405元。
小奖励的作用
匹配2个号码获得5元的概率为7.0219%， 这种小奖励会给人以"差一点就中大奖"的错觉， 实际上匹配4个号码的概率仅为0.0251%， 匹配5个号码更是只有0.000300%。
投资的启示
如果将每周购买彩票的钱（20元）用于投资，假设年化收益率5%， 30年后可以积累69096元。 这说明理性的长期投资远比购买彩票更有价值。